一、极限与一元微分学

泰勒公式

\[f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)\] \[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3)\] \[\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4)\] \[\arcsin x = x + \frac{x^3}{3!} + o(x^3)\] \[\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)\] \[\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)\] \[\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)\] \[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3)\] \[(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + o(x^2)\]

数列极限证明

数学归纳法

适用场景：主要用于递推数列 x_(n+1) = f(x_n) 的有界性证明。

核心步骤 (三步走)

1. 归纳基础：验证 n = 1 (或初始项) 时命题成立。
2. 归纳假设：假设当 n = k (k >= 1) 时命题成立。
3. 归纳递推：利用 n = k 的假设，结合递推公式，严格推导出 n = k + 1 时命题也成立。 结论：由数学归纳法可知，该命题对所有正整数 n 均成立。 可先假设数列收敛，令 lim(n->∞) x_n = A。对递推式两边取极限得到方程 A = f(A)，解出来的根 A 通常就是你要找的界限！用这个数值作为目标去写归纳法，思路会非常清晰。

放缩法

适用场景：主要用于含有连加 (∑)、连乘 (∏) 或复杂通项的数列。 核心目的： 1. 找界：放大原式找上界，缩小原式找下界（配合单调有界定理）。 2. 夹逼：将原数列两头缩放至具有相同极限值的两个新数列（配合夹逼定理）。

均值不等式链

对于任意正数 a 和 b：

• \(\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\)

常见初等函数放缩

当 x > 0 时，以下不等式极为常用：

• 三角函数：sin x < x < tan x
• 对数函数：x/(1+x) < ln(1+x) < x
• 指数函数：e^x > 1 + x

\(\sqrt[n]{A^n + B^n}\) 型数列极限

对于非负实数 \(a_1, a_2, ..., a_k\)，存在以下极其常用的极限公式： \[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + ... + a_k^n} = \max(a_1, a_2, ..., a_k)\] 证明演示：假设 \(A, B \ge 0\)，且 \(A \ge B\)，求 \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{A^n + B^n}\)。 1. 缩小（丢掉小项）：\[\sqrt[n]{A^n + B^n} \ge \sqrt[n]{A^n + 0} = A\] 2. 放大（把小项替换为大项）：\[\sqrt[n]{A^n + B^n} \le \sqrt[n]{A^n + A^n} = \sqrt[n]{2A^n} = \sqrt[n]{2} \cdot A\] 3. 两头取极限： 因为 \(\lim_{n \to \infty} A = A\)，且 \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2} \cdot A = 1 \cdot A = A\)。 由夹逼定理可知，原极限必定为 \(A\)。

判断极值点的三大充分条件

设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处连续。

第一充分条件（基于一阶导数左右变号）

设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的去心邻域内可导，且 \(f'(x_0) = 0\) 或 \(f'(x_0)\) 不存在。 极大值点： 如果在 \(x_0\) 两侧，\(f'(x)\) 的符号 由正变负（即左增右减）。 极小值点： 如果在 \(x_0\) 两侧，\(f'(x)\) 的符号 由负变正（即左减右增）。 非极值点： 如果在 \(x_0\) 两侧，\(f'(x)\) 的符号不变。

第二充分条件（基于二阶导数符号）

设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处具有二阶连续导数，且满足 \(f'(x_0) = 0\)，\(f''(x_0) \neq 0\)。 极大值点： 如果 \(f''(x_0) < 0\)（曲线在 \(x_0\) 处呈凸形）。 极小值点： 如果 \(f''(x_0) > 0\)（曲线在 \(x_0\) 处呈凹形）。 注： 若 \(f''(x_0) = 0\)，则此方法失效，需使用第一或第三充分条件。

第三充分条件（基于高阶导数）

设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处具有 \(n\) 阶导数，且满足： \[f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n-1)}(x_0) = 0\] 但 \(f^{(n)}(x_0) \neq 0\)。 极值点判定： 当且仅当 \(n\) 为偶数 时，\(x_0\) 才是极值点。 若 \(f^{(n)}(x_0) < 0\)，为极大值点。 若 \(f^{(n)}(x_0) > 0\)，为极小值点。 非极值点： 当 \(n\) 为奇数时，\(x_0\) 不是极值点。

判断拐点的三大充分条件

设函数 \(f(x)\) 在所讨论的区间上连续。拐点指的是曲线连续且凹凸性发生改变的点 \((x_0, f(x_0))\)。

第一充分条件（基于二阶导数左右变号）

设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的去心邻域内具有二阶导数，且 \(f''(x_0) = 0\) 或 \(f''(x_0)\) 不存在。 是拐点： 如果在 \(x_0\) 两侧，\(f''(x)\) 的符号 发生改变（由正变负或由负变正，即凹凸性改变）。 不是拐点： 如果在 \(x_0\) 两侧，\(f''(x)\) 的符号不发生改变。

第二充分条件（基于三阶导数符号）

设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处具有三阶导数，且满足 \(f''(x_0) = 0\)，\(f'''(x_0) \neq 0\)。 是拐点： 只要 \(f'''(x_0) \neq 0\)，那么点 \((x_0, f(x_0))\) 就一定是曲线的拐点。

第三充分条件（基于高阶导数）

设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处具有 \(n\) 阶导数，且满足： \[f''(x_0) = f'''(x_0) = \dots = f^{(n-1)}(x_0) = 0\] 但 \(f^{(n)}(x_0) \neq 0\)。 是拐点判定： 当且仅当 \(n\) 为奇数（\(n \ge 3\)）时，点 \((x_0, f(x_0))\) 才是曲线的拐点。 不是拐点： 当 \(n\) 为偶数时，该点不是拐点（此时 \(x_0\) 往往是极值点）。

曲率以及曲率半径

曲率公式

\[\kappa = \frac{|y''|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}\]

曲率半径公式

\[R = \frac{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}{|y''|}\]

中值定理、微分等式与微分不等式

中值函数在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 内可导。 至少存在一点 \(\xi \in (a, b)\)，使得： \[f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\] 设函数 \(g(x)\) 满足 \(g'(x) \neq 0\)，则至少存在一点 \(\xi \in (a, b)\)，使得： \[\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\] 若函数在含有 \(x_0\) 的区间内有 \(n+1\) 阶导数，则对该区间内任意 \(x\)，存在介于 \(x\) 与 \(x_0\) 之间的 \(\xi\)，使得（带有拉格朗日余项）： \[ \begin{aligned} f(x) &= f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 \\ &\quad + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \end{aligned} \] \[R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} = \int_{x_0}^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n dt\]

证明微分等式：常用辅助函数构造法

构造前要保证量纲一致

一阶导数线性组合模型 (含 \(f'\) 与 \(f\))

目标形式: \(f'(\xi) + k f(\xi) = 0\) 构造函数: \(F(x) = e^{kx} f(x)\) 目标形式: \(f'(\xi) - k f(\xi) = 0\) 构造函数: \(F(x) = e^{-kx} f(x)\) 目标形式: \(f'(\xi) + g'(x) f(\xi) = 0\) 构造函数: \(F(x) = e^{g(x)} f(x)\) 目标形式: \(f(x)f''(x)+[f'(x)]^2= 0\) 构造函数: \(F(x) = f'(x)f(x)\) 目标形式: \(f(x)f''(x)-[f'(x)]^2= 0\) 构造函数: \(F(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} = In(f(x))\)

带有自变量 \(\xi\) 的乘除模型

目标形式: \(\xi f'(\xi) + n f(\xi) = 0\) 构造函数: \(F(x) = x^n f(x)\) 目标形式: \(\xi f'(\xi) - n f(\xi) = 0\) 构造函数: \(F(x) = \frac{f(x)}{x^n}\) (需保证 \(x \neq 0\)) 目标形式: \(f'(\xi) + \frac{1}{\xi} f(\xi) = 0\) 构造函数: \(F(x) = x f(x)\)

多函数联动模型 (含 \(f\) 与 \(g\))

目标形式: \(f'(\xi)g(\xi) + f(\xi)g'(\xi) = 0\) 构造函数: \(F(x) = f(x)g(x)\) 目标形式: \(f'(\xi)g(\xi) - f(\xi)g'(\xi) = 0\) 构造函数: \(F(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\) (需保证 \(g(x) \neq 0\))

二阶导数模型

目标形式: \(f''(\xi) + f(\xi) = 0\) 构造函数: \(F(x) = [f(x)]^2 + [f'(x)]^2\) (利用导数 \(F'(x) = 2f'(x)[f(x)+f''(x)]\))

导数与函数零点个数推论

假设函数 \(f(x)\) 在给定区间内具有 \(n\) 阶导数，且其 \(n\) 阶导数始终不为零（即 \(f^{(n)}(x) \neq 0\) 恒成立） 函数 \(f(x)\) 在该区间内 至多有 \(n\) 个零点（即方程 \(f(x) = 0\) 至多有 \(n\) 个实数根）。

二、一元积分学及应用

原函数存在定理

连续 必定存在，振荡 有可能存在 跳跃 可去 无穷 必定不存在

定积分存在定理

充分（满足某个条件，这个函数在 \([a, b]\) 上的定积分一定存在） ① \([a,b]\) 连续 ② \([a,b]\) 有界，只有有限个间断点 ③ \([a,b]\) 单调 必要（某函数的定积分是存在的，这个函数必须同时满足这两个条件） ① \([a,b]\) 有限长度 ② \(f(x)\)在\([a,b]\) 有界

广义积分敛散性

重要参考积分 (\(p\)-积分)

对于积分 \(\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx \quad\)： - 当 \(p > 1\) 时，积分收敛。 - 当 \(p \le 1\) 时，积分发散。 对于积分 \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} dx \quad\)： - 当 \(p \le 1\) 时，积分收敛。 - 当 \(p > 1\) 时，积分发散。 在微积分与广义积分中，对于任意给定的实数 \(k > 0\)，对数函数 \(\ln x\) 的增长速度永远慢于幂函数 \(x^k\)。这种“阶的压制”关系可以通过洛必达法则进行严谨证明。 例如：对于任意 \(k > 0\)，都有 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^k} = 0\)。

非负函数敛散性判别法 (\(f(x) \ge 0\))

• 比较判别法：若 \(0 \le f(x) \le g(x)\)：
  • 大收敛 \(\Rightarrow\) 小收敛：若 \(\int_{a}^{+\infty} g(x) dx\) 收敛，则 \(\int_{a}^{+\infty} f(x) dx\) 收敛。
  • 小发散 \(\Rightarrow\) 大发散：若 \(\int_{a}^{+\infty} f(x) dx\) 发散，则 \(\int_{a}^{+\infty} g(x) dx\) 发散。
• 极限形式的比较判别法： 设 \(f(x) \ge 0\)，计算极限 \(\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = l\)：
  • 若 \(0 < l < +\infty\)，则 \(f(x)\) 与 \(\frac{1}{x^p}\) 同敛散。
  • 若 \(l = 0\) 且 \(p > 1\)，都有 \(\lim_{x \to 0^+} x^k \ln x = 0\)。则积分收敛（说明 \(f(x)\) 趋于 \(0\) 的速度比 \(\frac{1}{x^p}\) 更快）。
  • 若 \(l = +\infty\) 且 \(p \le 1\)，则积分发散（说明 \(f(x)\) 衰减太慢）。

常用积分公式

幂函数与反比例函数积分

\[\begin{aligned} \int x^k \, dx &= \frac{1}{k+1} x^{k+1} + C \quad (k \neq -1) \\ \int \frac{1}{x} \, dx &= \ln|x| + C \end{aligned}\]

指数函数积分

\[\begin{aligned} \int e^x \, dx &= e^x + C \\ \int a^x \, dx &= \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0 \text{ 且 } a \neq 1) \end{aligned}\]

基础三角函数积分

\[\begin{aligned} \int \sin x \, dx &= -\cos x + C \\ \int \cos x \, dx &= \sin x + C \\ \int \tan x \, dx &= -\ln|\cos x| + C \\ \int \frac{1}{\tan x} \, dx &= \ln|\sin x| + C \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \int \frac{1}{\cos x} \, dx &= \ln\left|\frac{1}{\cos x} + \tan x\right| + C \\ \int \frac{1}{\sin x} \, dx &= \ln\left|\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\tan x}\right| + C \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx &= \tan x + C \\[1.5ex] \int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx &= -\frac{1}{\tan x} + C \\[1.5ex] \int \frac{1}{\cos x} \tan x \, dx &= \frac{1}{\cos x} + C \\[1.5ex] \int \frac{1}{\sin x} \frac{1}{\tan x} \, dx &= -\frac{1}{\sin x} + C \end{aligned}\]

含三角函数的平方项积分

\[\begin{aligned} \int \sin^2 x \, dx &= \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C \\ \int \cos^2 x \, dx &= \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C \\ \int \tan^2 x \, dx &= \tan x - x + C \\ \int \frac{1}{\tan^2 x} \, dx &= -\frac{1}{\tan x} - x + C \end{aligned}\]
降幂
\(\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}\)
\(\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}\)
\(\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1\)
\(\frac{1}{\tan^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x} - 1\)

含有 \(x^2 \pm a^2\) 的分式积分

\[\begin{aligned} \int \frac{1}{1+x^2} \, dx &= \arctan x + C \\ \int \frac{1}{a^2+x^2} \, dx &= \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C \quad (a > 0) \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \int \frac{1}{x^2-a^2} \, dx &= \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C \\ \int \frac{1}{a^2-x^2} \, dx &= \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x+a}{x-a}\right| + C \end{aligned}\]

无理函数（根号）积分

\[\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx = \arcsin \frac{x}{a} + C \quad (a > 0)\]

\[\begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} \, dx &= \ln(x + \sqrt{x^2+a^2}) + C \quad (\text{常见 } a=1) \\ \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} \, dx &= \ln|x + \sqrt{x^2-a^2}| + C \quad (|x| > |a|) \end{aligned}\]

\[\int \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{a} +C (a > |x| \geq 0) \] \[\int \sqrt{x^2 + a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2}\ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C\]

分部积分法的推广公式

设函数 \(u=u(x)\) 与 \(v=v(x)\) 具有直到第 \((n+1)\) 阶的连续导数，并根据分部积分公式 \[\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u,\] 则有 \[\int uv^{(n+1)}\mathrm{d}x=uv^{(n)}-u'v^{(n-1)}+u''v^{(n-2)}-\dots+(-1)^nu^{(n)}v+(-1)^{n+1}\int u^{(n+1)}v\mathrm{d}x.\]

因式分解公式

\((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 .\) \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 .\) \(a^3 - b^3 = {(a-b)}{(a^2 + ab + b^2)} .\) \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) .\)

指数函数与三角函数乘积的积分

① 正弦情况： \[\int e^{ax} \sin bx \, \mathrm{d}x = \frac{\begin{vmatrix} (e^{ax})' & (\sin bx)' \\ e^{ax} & \sin bx \end{vmatrix}}{a^2 + b^2} + C = \frac{ae^{ax} \sin bx - be^{ax} \cos bx}{a^2 + b^2} + C\] ② 余弦情况： \[\int e^{ax} \cos bx \, \mathrm{d}x = \frac{\begin{vmatrix} (e^{ax})' & (\cos bx)' \\ e^{ax} & \cos bx \end{vmatrix}}{a^2 + b^2} + C = \frac{ae^{ax} \cos bx + be^{ax} \sin bx}{a^2 + b^2} + C\]

有理函数四种基本分式积分法

一次单因式：求对数

形式： \(\int \frac{A}{ax+b} dx\) 方法： 凑微分，直接使用对数积分公式。 例子： \[\int \frac{2}{3x-1} dx = \frac{2}{3} \int \frac{1}{3x-1} d(3x-1) = \frac{2}{3} \ln|3x-1| + C\]

\(k\) 重一次因式 (\(k \ge 2\))：幂函数积分

形式： \(\int \frac{A}{(ax+b)^k} dx\) 方法： 凑微分，转化为负指数形式，使用幂函数积分公式。 例子： \[\int \frac{5}{(2x+1)^3} dx = \frac{5}{2} \int (2x+1)^{-3} d(2x+1) = \frac{5}{2} \cdot \frac{(2x+1)^{-2}}{-2} + C = -\frac{5}{4(2x+1)^2} + C\]

二次单因式：拆项 + 配方 (无实根)

形式： \(\int \frac{Ax+B}{px^2+qx+r} dx\) 方法： 1. 凑导数： 把分子凑成分母的导数加上一个常数。前半部分积分得到 \(\ln\)。 2. 配方： 后半部分对分母配平方，利用公式得到 \(\arctan\)。 例子： 求 \(\int \frac{2x+3}{x^2+2x+5} dx\) (分母导数为 \(2x+2\)) \[\text{原式} = \int \frac{(2x+2) + 1}{x^2+2x+5} dx = \int \frac{2x+2}{x^2+2x+5} dx + \int \frac{1}{(x+1)^2 + 2^2} dx\] \[= \ln|x^2+2x+5| + \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right) + C\]

\(k\) 重二次因式 (\(k \ge 2\))：拆项 + 三角代换/递推

形式： \(\int \frac{Ax+B}{(px^2+qx+r)^k} dx\) 方法： 1. 凑导数： 同上，前半部分利用幂函数公式积出。 2. 处理高次常数项： 后半部分配方后，利用三角代换（如令 \(u = a\tan\theta\)）或使用分部积分推导的递推公式降阶。 例子： 求 \(\int \frac{x}{(x^2+1)^2} dx\) \[\text{原式} = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{(x^2+1)^2} dx = \frac{1}{2} \int (x^2+1)^{-2} d(x^2+1)\] \[= \frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2+1)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{2(x^2+1)} + C\] (注：若分子仅为常数如 \(\int \frac{1}{(x^2+1)^2} dx\)，则需令 \(x=\tan\theta\) 将其转化为 \(\int \cos^2\theta d\theta\) 来求解)

华里士公式 (Wallis 公式) / 三角函数高次幂积分

\[\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx = \begin{cases} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3} \cdot 1, & n \text{ 为大于 } 1 \text{ 的奇数}, \\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text{ 为正偶数}. \end{cases}\]

\(\Gamma\) 函数基础

\(\Gamma\) 函数的基本定义积分式为： \[\Gamma(\alpha) = \int_0^{+\infty} x^{\alpha-1} e^{-x} dx\] 通过换元 \(x=t^2\)，可得到另一种常用形式（其中 \(x, t > 0\)）： \[\Gamma(\alpha) = 2 \int_0^{+\infty} t^{2\alpha-1} e^{-t^2} dt\] 即核心递推公式为： \[\Gamma(\alpha+1) = \alpha\Gamma(\alpha)\] \(\Gamma(1) = 1\) \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\) 例如：\(\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{4}\sqrt{\pi}\)

定积分表达和计算旋转体的体积

绕 \(x\) 轴旋转的旋转体体积

由曲线 \(y=y(x)\) 与直线 \(x=a\)、\(x=b\) (\(a<b\)) 以及 \(x\) 轴围成的曲边梯形，绕 \(x\) 轴旋转一周所构成的旋转体，其体积 \(V_x\) 的计算公式为： \[V_x = \int_{a}^{b} \pi y^2(x) dx\]

绕 \(y\) 轴旋转的旋转体体积

曲线 \(y=y(x)\) 与 \(x=a\), \(x=b(0 \le a < b)\) 及 \(x\) 轴围成的曲边梯形绕 \(y\) 轴旋转一周所得到的旋转体的体积 \[V = 2\pi \int_{a}^{b} x|y(x)|\mathrm{d}x \qquad\]

绕 直线 旋转的旋转体体积

设平面曲线 \(L: y=f(x),\ a \leqslant x \leqslant b\)，且 \(f(x)\) 可导. 定直线 \(L_0: Ax+By+C=0\)，且过 \(L_0\) 的任一条垂线与 \(L\) 至多有一个交点，则 \(L\) 绕 \(L_0\) 旋转一周所得旋转体的体积为 \[V = \frac{\pi}{(A^2+B^2)^{\frac{3}{2}}} \int_{a}^{b} [Ax+Bf(x)+C]^2 |Af'(x)-B| \text{d}x \]

“平面上的曲边梯形”的形心坐标公式

形心横坐标 \(\bar{x}\)

\[\bar{x} = \frac{\iint_D x d\sigma}{\iint_D d\sigma} = \frac{\int_a^b dx \int_0^{f(x)} x dy}{\int_a^b dx \int_0^{f(x)} dy} = \frac{\int_a^b x f(x) dx}{\int_a^b f(x) dx}\]

形心纵坐标 \(\bar{y}\)

\[\bar{y} = \frac{\iint_D y d\sigma}{\iint_D d\sigma} = \frac{\int_a^b dx \int_0^{f(x)} y dy}{\int_a^b dx \int_0^{f(x)} dy} = \frac{\frac{1}{2} \int_a^b f^2(x) dx}{\int_a^b f(x) dx}\]

平面曲线的弧长

直角坐标方程

若平面光滑曲线由直角坐标方程 \(y = y(x) \quad (a \leqslant x \leqslant b)\) 给出，则弧长 \(s\) 为： \[s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [y'(x)]^2} \, dx\]

参数方程

若平面光滑曲线由参数方程 \(\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} \quad (\alpha \leqslant t \leqslant \beta)\) 给出，则弧长 \(s\) 为： \[s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \, dt\]

极坐标方程

若平面光滑曲线由极坐标方程 \(r = r(\theta) \quad (\alpha \leqslant \theta \leqslant \beta)\) 给出，则弧长 \(s\) 为： \[s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{[r(\theta)]^2 + [r'(\theta)]^2} \, d\theta\] 绕x轴的侧面积 = \(弧长公式被积*2 \pi *y\)

积分等式

微积分基本定理

如果 \(F(x)\) 是连续函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上的一个原函数，那么： \[\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)\] 积分中值定理 \[\int_{a}^{b} f(x) dx = f(\xi)(b-a)\] \[\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx = f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) dx\]

积分不等式

积分不等式主要用于估算积分范围或证明函数之间的相对大小。

积分的比较定理 (保号性)

若在 \([a, b]\) 上 (\(a < b\))，始终有 \(f(x) \leq g(x)\)，则： \[\int_{a}^{b} f(x) dx \leq \int_{a}^{b} g(x) dx\] 若 \(M\) 和 \(m\) 分别是 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上的最大值和最小值，则： \[m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) dx \leq M(b-a)\]

绝对值不等式

在\(a < b\) 的情况下 \[\left| \int_{a}^{b} f(x) dx \right| \leq \int_{a}^{b} |f(x)| dx \]

柯西-施瓦茨不等式

若 \(f(x), g(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，则： \[\left( \int_{a}^{b} f(x)g(x) dx \right)^2 \leq \left( \int_{a}^{b} f^2(x) dx \right) \left( \int_{a}^{b} g^2(x) dx \right)\]

常用的解题与证明技巧

1. 构造辅助函数法：
   • 将积分上限 \(b\) 替换为变量 \(x\)，移项构造出一个新的变上限积分函数 \(F(x)\)。
   • 利用 \(F'(x)\) 的符号来判断 \(F(x)\) 的单调性，进而结合 \(F(a)=0\) 来证明等式或不等式。
2. 化积分为函数值（利用中值定理）：
   • 如果等式/不等式中既有积分，又有某个具体点 \(\xi\) 的导数值或函数值，首选积分中值定理把积分号剥离，转化为纯代数问题；或者使用
3. 分部积分法：
   • 如果被积函数中含有导数（如 \(f'(x), f''(x)\)），经常需要通过分部积分 \(\int u dv = uv - \int v du\) 来“降阶”或“转移导数”。

物理应用

抽水做功

\[p = \rho g h\] 将容器中的水全部抽出所做的功为 \[W = ρg\int_{a}^{b} xA(x) dx\] a，b为深度

浸水压力

垂直浸没在水中的平板ABCD的一侧受到的水压力为 \[p = ρg\int_{a}^{b}y[x_1(y)−x_2(y)]dy,\] 右边减左边

万有引力

\[F = G \frac{m1*m2}{r^2}\]

古鲁金定理

质心： 指物体的质量分布中心，是物体的固有特性 重心： 是指物体所受地球引力的重力分布中心，依赖于重力场，在均匀重力场下，重心与质心重合 形心： 是指几何图形的分布中心，是固有几何量。当物体密度为常数时，物体质心与其几何体形心重合

古鲁金第一定理（旋转曲面面积）

一段平面曲线绕着与其共面但不相交的一条轴旋转，所形成的旋转曲面的表面积 \(S\)，等于该曲线的弧长 \(L\) 乘以其形心（重心）所经过的轨迹的周长。 假设曲线形心到旋转轴的垂直距离为 \(d\)，那么形心旋转一周的轨迹周长就是 \(2\pi d\)。 \[S = L \cdot 2\pi d\]

古鲁金第二定理（旋转体体积）

一个平面图形绕着与其共面但不相交的一条轴旋转，所形成的旋转体的体积 \(V\)，等于该平面图形的面积 \(A\) 乘以其形心所经过的轨迹的周长。 假设平面图形的形心到旋转轴的距离为 \(d\)。 \[V = A \cdot 2\pi d\]

三、多元函数与多重积分

多元函数微分学

\[dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy\]

可微的判别

\[\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{f(x,y) - f(0,0) - f_x(0,0) \cdot x - f_y(0,0) \cdot y}{\sqrt{x^2+y^2}}\] 若该极限等于 0, 则 \(z = f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处可微, 否则, 就不可微.

隐函数存在定理

隐函数存在定理 1

对于由方程 \(F(x, y)=0\) 确定的隐函数 \(y=f(x)\)，当 \(F'_y(x, y) \neq 0\) 时，则有 \[\frac{dy}{dx} = -\frac{F'_x(x, y)}{F'_y(x, y)}\]

隐函数存在定理 2

对于由方程 \(F(x, y, z)=0\) 确定的隐函数 \(z=f(x, y)\)，当 \(F'_z(x, y, z) \neq 0\) 时，则有 \[\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F'_x(x, y, z)}{F'_z(x, y, z)}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F'_y(x, y, z)}{F'_z(x, y, z)}\]

二元函数极值

• \(f_{xx}''(x_0, y_0) = A\)
• \(f_{xy}''(x_0, y_0) = B\)
• \(f_{yy}''(x_0, y_0) = C\)
• \(\Delta = AC - B^2\)

当 \(\Delta > 0\) 时，\(A\) 与 \(C\) 必然同号，因此判定极大/极小值时，观察 \(A\) 或 \(C\) 的符号效果是一样的

条件最值与拉格朗日乘数法

• 无条件极值：对自变量除了定义域限制外，没有其他约束条件（如之前讨论的 \(f(x, y)\) 直接求导）。
• 条件极值：目标函数 \(z = f(x, y)\) 在满足约束条件 \(\varphi(x, y) = 0\) 的情况下的极值。

拉格朗日乘数法

引入一个辅助变量 \(\lambda\)（称为拉格朗日乘子），构造函数： \[L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda \cdot \varphi(x, y)\] 令 \(L\) 对每个变量的偏导数均为零： \[  \begin{cases}    L_x = f_x(x, y) + \lambda \varphi_x(x, y) = 0 \\    L_y = f_y(x, y) + \lambda \varphi_y(x, y) = 0 \\    L_\lambda = \varphi(x, y) = 0    \end{cases}    \] - 解方程组：求出 \(x, y, \lambda\) 的值。得到的点 \((x, y)\) 是条件极值的候选点（驻点）

二重积分

轮换性

如果区域D关于\(y = x\)对称，则 \[\iint_D f(x, y) dx dy = \frac{1}{2} \iint_D [f(x, y) + f(y, x)] dx dy\]

极坐标下的计算

积分区域 \(D\) 的形状：为圆、圆环、扇形，或边界曲线方程包含 \(x^2+y^2\)（如 \(x^2+y^2=R^2\)）。 被积函数的结构：包含 \(x^2+y^2\)、\(\frac{y}{x}\) 或 \(\frac{x}{y}\) 等，转换后能大幅简化计算

• \(x = r \cos \theta\) ， \(y = r \sin \theta\) ，\(x^2 + y^2 = r^2\) \[\iint_D f(x,y) dxdy = \iint_{D'} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r dr d\theta\]

二元积分换元法

设变换方程为 \(x = x(u,v)\)，\(y = y(u,v)\)，将 \(x-y\) 平面的区域 \(D\) 映射为 \(u-v\) 平面的区域 \(D'\)： \[\iint_D f(x,y) dx dy = \iint_{D'} f(x(u,v), y(u,v)) \left| J \right| du dv\] 雅可比行列式 (Jacobian) \(J\)： \[J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}\]

二重积分中值定理

前提条件： 1. 函数 \(f(x,y)\) 在有界闭区域 \(D\) 上连续。 2. 闭区域 \(D\) 的面积为 \(A\)（且 \(A > 0\)）。 在区域 \(D\) 内至少存在一点 \((\xi, \eta)\)，使得以下等式成立： \[\iint_D f(x,y) \,dx\,dy = f(\xi, \eta) \cdot A\]

四、微分方程与无穷级数

微分方程

\(n\)阶线性微分方程的一般形式为： \[a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x)\]

• 变系数线性微分方程：系数 \(a_k(x)\) 中包含自变量 \(x\) 的函数。
• 常系数线性微分方程：当所有的系数 \(a_k(x)\) (\(k=0, 1, 2, \cdots, n\)) 都是常数时，称为 \(n\)阶常系数线性微分方程。
• 齐次线性微分方程：若右端函数 \(f(x)\) 恒为零（即 \(f(x) \equiv 0\)），则称为 \(n\)阶齐次线性微分方程。
• 非齐次线性微分方程：若右端函数 \(f(x)\) 不恒为零，则称为 \(n\)阶非齐次线性微分方程。 微分方程的通解：常数个数 = 方程阶数 - 阶数：微分方程里求导的最高次数。比如方程里有 \(y''\)，它就是二阶微分方程。 - 规则：一阶微分方程的通解里必须有 \(1\) 个任意常数（通常写成 \(C\)）；二阶微分方程的通解里必须有 \(2\) 个任意常数（比如 \(C_1, C_2\)），以此类推。

常微分方程常见求解方法

一阶微分方程

一阶微分方程的一般形式为 \(y' = f(x, y)\) 或 \(P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0\)。

可分离变量/换元后可分离变量的微分方程

•   标准形式：\(\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)\)
•   求解方法：分离变量后两边积分。     1. 变形为：\(\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx\) （假设 \(g(y) \neq 0\)）     2. 两边积分：\(\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx\)     3. 求出积分后加上任意常数 \(C\)。

齐次方程

•   标准形式：\(\frac{dy}{dx} = \phi(\frac{y}{x})\)
•   求解方法：换元法转化为可分离变量方程。     1. 令 \(u = \frac{y}{x}\)，即 \(y = ux\)。     2. 两边对 \(x\) 求导得：\(\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}\)。     3. 代入原方程得到：\(u + x\frac{du}{dx} = \phi(u)\)，分离变量得 \(\frac{du}{\phi(u) - u} = \frac{dx}{x}\)。     4. 积分求解后，将 \(u\) 替换回 \(\frac{y}{x}\)。

一阶线性微分方程

•   标准形式：\(y' + P(x)y = Q(x)\) \[y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x)dx} dx + C \right)\]

伯努利 (Bernoulli) 方程

•   标准形式：\(y' + P(x)y = Q(x)y^n\)  (\(n \neq 0, 1\))
•   求解方法：转化为一阶线性方程。     1. 方程两边同除以 \(y^n\)，得 \(y^{-n}y' + P(x)y^{1-n} = Q(x)\)。     2. 令 \(z = y^{1-n}\)，则 \(z' = (1-n)y^{-n}y'\)。     3. 代入后化为关于 \(z\) 的一阶线性方程：\(\frac{1}{1-n}z' + P(x)z = Q(x)\)。     4. 解出 \(z\) 后还原为 \(y\)。

若方程有p’(y)y’+p(y) = …,可将y换元为p(y)

可降阶的高阶微分方程

\(y^{(n)} = f(x)\) 型

•   求解方法：连续对 \(x\) 积分 \(n\) 次，每次积分产生一个任意常数。

\(y'' = f(x, y')\) 型 （缺 \(y\) 型）

•   求解方法：令 \(y' = p\)，则 \(y'' = p'\)。
•   原方程化为关于 \(p\) 的一阶方程 \(\frac{dp}{dx} = f(x, p)\)。解出 \(p = p(x, C_1)\) 后，再积分一次得 \(y = \int p(x, C_1)dx + C_2\)。

\(y'' = f(y, y')\) 型 （缺 \(x\) 型）->对没有的项赶尽杀绝

•   求解方法：令 \(y' = p\)，则利用复合求导 \(y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx} = p\frac{dp}{dy}\)。
•   原方程化为关于 \(p\) 和 \(y\) 的一阶方程 \(p\frac{dp}{dy} = f(y, p)\)。解出 \(p\) 后，再解 \(\frac{dy}{dx} = p(y, C_1)\)。

高阶常系数线性微分方程

标准形式：\(y'' + py' + qy = f(x)\)，其中 \(p, q\) 为常数。

二阶常系数齐次方程 \(y'' + py' + qy = 0\)

•   求解方法：写出特征方程 \(r^2 + pr + q = 0\)。
•   特征根情况与通解结构：     1.  有两个不相等的实根 \(r_1, r_2\) (\(\Delta > 0\))： \[y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}\]     2.  有两个相等的实根 \(r_1 = r_2 = r\) (\(\Delta = 0\))： \[y = (C_1 + C_2 x) e^{rx}\]     3.  有一对共轭复根 \(r_{1,2} = \alpha \pm i\beta\) (\(\Delta < 0\))： \[y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)\]

二阶常系数非齐次方程 \(y'' + py' + qy = f(x)\)

•   求解方法：通解 = 齐次方程通解 \(Y\) + 非齐次方程特解 \(y^*\)。特解 \(y^*\) 用待定系数法求解。
• 第一种类型：\(f(x) = P_m(x)e^{\lambda x}\)
  • 设特解 \(y^* = x^k Q_m(x) e^{\lambda x}\)。
  • 其中 \(Q_m(x)\) 是与 \(P_m(x)\) 同次的一般多项式，例如P = x，则Q = ax + b
  • \(k\) 的取值：若 \(\lambda\) 不是特征根，\(k=0\)；若 \(\lambda\) 是单特征根，\(k=1\)；若 \(\lambda\) 是二重特征根，\(k=2\)。
• 第二种类型：\(f(x) = e^{\lambda x}[P_l(x)\cos\omega x + P_n(x)\sin\omega x]\)
  • 设特解 \(y^* = x^k e^{\lambda x}[R_m(x)\cos\omega x + S_m(x)\sin\omega x]\)。
  • 其中 \(m = \max(l, n)\)，\(R_m\) 和 \(S_m\) 是 \(m\) 次一般多项式。
  • \(k\) 的取值：若 \(\lambda \pm i\omega\) 不是特征根，\(k=0\)；若是特征根，\(k=1\)。

\(n \ (n > 2)\) 阶常系数齐次线性微分方程

• 若 \(r\) 为单实根，写 \(C\mathrm{e}^{rx}\) ；
• 若 \(r\) 为 \(k\) 重实根，写 \[ (C_1 + C_2x + C_3x^2 + \cdots + C_kx^{k-1})\mathrm{e}^{rx} \]
• 若 \(r\) 为单复根 \(\alpha \pm \beta\mathrm{i}\)，写 \[ \mathrm{e}^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x) \]
• 若 \(r\) 为二重复根 \(\alpha \pm \beta\mathrm{i}\)，写 \[ \mathrm{e}^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x + C_3x \cos \beta x + C_4x \sin \beta x) \]

欧拉方程 (Euler Equation)

•   标准形式：\(x^2y'' + pxy' + qy = f(x)\)
•   求解方法：通过变量代换化为常系数方程。     1. 作代换 \(x = e^t\) (\(x>0\)) 或 \(x = -e^t\) (\(x<0\))。

    2. 利用链式法则求导转换：        \(xy' = \frac{dy}{dt} = \dot{y}\)

       \(x^2y'' = \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} = \ddot{y} - \dot{y}\)     4. 代入原方程，整理得到关于 \(t\) 的二阶常系数线性方程：\(\ddot{y} + (p-1)\dot{y} + qy = f(e^t)\)。     5. 求出 \(y(t)\) 后，将 \(t\) 替换回 \(\ln x\)。

无穷级数

正项级数的判敛

• 收敛原则

  正项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列 \(\{S_n\}\) 有上界。 （即存在常数 \(M > 0\)，使得对所有的 \(n\)，都有 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} u_k \le M\)）

• 比较判别法

  设 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 和 \(\sum_{n=1}^{\infty} v_n\) 是两个正项级数，且存在正整数 \(N\)，使得对所有 \(n \ge N\) 都有 \(u_n \le v_n\)

  • 如果“大”级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} v_n\) 收敛，那么“小”级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 也收敛
  • 如果“小”级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 发散，那么“大”级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} v_n\) 也发散

• 比较判别法的极限形式

  设 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 和 \(\sum_{n=1}^{\infty} v_n\) 都是正项级数，且 \(\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = l\)：

  • 若 \(0 < l < +\infty\)，则这两个级数同敛散
  • 若 \(l = 0\)，且 \(\sum_{n=1}^{\infty} v_n\) 收敛，则 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 收敛
  • 若 \(l = +\infty\)，且 \(\sum_{n=1}^{\infty} v_n\) 发散，则 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 发散

• 比值判别法

  设 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 为正项级数，且 \(\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho\)

  • 若 \(\rho < 1\)，则级数收敛
  • 若 \(\rho > 1\) （或 \(\rho = +\infty\)），则级数发散
  • 若 \(\rho = 1\)，判别法失效（需改用其他方法）

• 根值判别法

  设 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 为正项级数，且 \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho\)

  • 若 \(\rho < 1\)，则级数收敛
  • 若 \(\rho > 1\) （或 \(\rho = +\infty\)），则级数发散
  • 若 \(\rho = 1\)，判别法失效

• 积分判别法

  设函数 \(f(x)\) 在区间 \([1, +\infty)\) 上非负、连续且单调递减，并且对所有正整数 \(n\) 都有 \(f(n) = u_n\)。 则正项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 与反常积分 \(\int_{1}^{+\infty} f(x) dx\) 同敛散。

交错项级数

• \(u_n\)单调不增
• \(u_n\)趋近于0

任意项级数

以下总结基于图片内容，设 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n, \sum_{n=1}^{\infty} v_n, \sum_{n=1}^{\infty} w_n\) 均为任意项级数。 - 线性组合性质 设 \(a, b, c\) 为非零常数，且 \(a u_n + b v_n + c w_n = 0\)。 则在 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n, \sum_{n=1}^{\infty} v_n\) 和 \(\sum_{n=1}^{\infty} w_n\) 这三个级数中，只要有两个级数是收敛的，另一个必然收敛。

• 绝对收敛与发散的基本关系

  • 设 \(\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|\) 收敛，则 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 必收敛。（绝对收敛必收敛）
  • 设 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 发散，则 \(\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|\) 必发散。（逆否命题）

• 利用放缩法证明绝对收敛 设 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2\) 收敛，则 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n}{n}\) 绝对收敛。

• 收敛推不出绝对收敛 设 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 收敛，则 \(\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|\) 的敛散性不定。

• 收敛推不出平方收敛 设 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 收敛，则 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2\) 的敛散性不定。

• 收敛级数乘 \((-1)^n\) 后敛散性不定 设 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 收敛，则 \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n u_n\) 的敛散性不定。

• 收敛级数乘 \((-1)^n/n\) 后敛散性不定 设 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 收敛，则 \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{u_n}{n}\) 的敛散性不定。

• 整体收敛推不出奇/偶数项构成的子级数收敛 设 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 收敛，则其偶数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{2n}\) 与奇数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{2n-1}\) 的敛散性不定。

• 相邻两项相加（加括号）必收敛 设 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 收敛，则 \(\sum_{n=1}^{\infty} (u_{2n-1} + u_{2n})\) 必定收敛。

• 相邻两项相减敛散性不定 设 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 收敛，则 \(\sum_{n=1}^{\infty} (u_{2n-1} - u_{2n})\) 的敛散性不定。

• 错位相加/相减必收敛 设 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 收敛，则以下两个级数必定收敛：

  • \(\sum_{n=1}^{\infty} (u_n + u_{n+1})\) 收敛。（原理：由于 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 和 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n+1}\) 均收敛，根据线性性质，它们的和也收敛）
  • \(\sum_{n=1}^{\infty} (u_n - u_{n+1})\) 收敛。（原理：同上，收敛级数的差也收敛）

• 相邻两项相乘敛散性不定 设 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 收敛，则 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n u_{n+1}\) 的敛散性不定。

幂级数

1. 构造正项级数（加绝对值） 将原级数各项加上绝对值，使其变为正项级数，即写成： \(\sum |u_n(x)| \ge 0\)

2. 求解收敛区间（用比值或根值判别法） 对上述正项级数使用比值判别法或根值判别法，令其极限值严格小于1：

   • 比值法：令 \(\lim_{n \to \infty} \frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|} < 1\)
   • 根值法：令 \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|u_n(x)|} < 1\) 通过解这个不等式，可以求出级数的收敛区间 \((a, b)\)。

3. 确定收敛域（单独讨论端点） 将收敛区间的端点 \(x = a\) 和 \(x = b\) 分别代入原级数 \(\sum u_n(x)\) 中，单独讨论这两个具体数值下级数的敛散性。 根据端点的收敛情况（收敛则包含端点，发散则不包含），最终确定完整的收敛域（例如 \((a,b)\)、\([a,b)\)、\((a,b]\) 或 \([a,b]\)）。

幂级数变形

1. 变量部分的变化：如从 \((x-x_1)^n\) 变到 \((x-x_2)^m\)，通常通过平移、提出或乘以因式来处理。
2. 系数部分的变化：如从 \(a_n\) 变到 \(b_n\)，通常通过逐项求导或逐项积分来处理。
   • 平移、提出或乘以有限次因式：收敛半径不变；
   • 逐项求导：收敛半径不变，收敛域可能缩小；
   • 逐项积分：收敛半径不变，收敛域可能扩大；
   • 端点处的敛散性需要单独判断，不能只根据收敛半径直接确定。

求和函数

\[S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)\] 在收敛于上，记 \(S(x)\) 为函数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)\) 的和函数。 收敛域： 需要考虑端点值 收敛区间： 无需考虑端点值，默认开区间即可

数乘性质

\[k \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} k a_n x^n\]

条件：\(|x| < R_a\)，且 \(k\) 为常数。

加减性质

\[\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \pm \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (a_n \pm b_n) x^n\]

条件：\(|x| < R = \min\{R_a, R_b\}\)。即两个幂级数进行加减运算后，新级数的收敛半径至少为原来两个级数收敛半径中的较小者。

积分性质

\(f_n >0\)或\(|f_n|\)可积，则可以交换积分和绝对值的次序

乘法性质

\[\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \cdot \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i} \right) x^n\] \[(a_0 + a_1x + a_2x^2)(b_0 + b_1x + b_2x^2) = a_0b_0 + (a_0b_1 + a_1b_0)x^1 + (a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0)x^2 + \dots\] 根据归纳法可知，乘积级数中 \(x^n\) 的系数即为： \[\sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i} = a_0b_n + a_1b_{n-1} + \dots + a_nb_0\] 收敛半径： 乘积后的新幂级数，其收敛半径 \(R\) 满足： \[R \ge \min\{R_a, R_b\}\] \[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots, \quad -\infty < x < +\infty.\] \[\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots + (-1)^n x^n + \dots, \quad -1 < x < 1.\]

\[\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + \dots + x^n + \dots, \quad -1 < x < 1.\]

\[\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + \dots, \quad -1 < x \le 1.\]

\[\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \dots, \quad -\infty < x < +\infty.\]

\[\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \dots, \quad -\infty < x < +\infty.\]

\[(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + \dots, \quad \begin{cases} x \in (-1, 1), & \text{当 } \alpha \leqslant -1 \text{ 时}, \\ x \in (-1, 1], & \text{当 } -1 < \alpha < 0 \text{ 时}, \\ x \in [-1, 1], & \text{当 } \alpha > 0 \text{ 且 } \alpha \notin \mathbf{N}_+ \text{ 时}, \\ x \in (-\infty, +\infty), & \text{当 } \alpha \in \mathbf{N}_+ \text{ 时}. \end{cases}\] 分子出现多项式->先积后导 分母出现多项式->先导后积 - 积分下限为收敛中心，即\((x-x_0)^n\)的下限为\(x_0\) - \(f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^{x} f'(t) dt\) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^n = -\ln(1-x), \quad -1 \leqslant x < 1.\] \[\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}, \quad -1 < x < 1.\]

和函数转变为幂级数

• 查看是否可以套泰勒展开
• 无法套泰勒展开，可尝试将函数凑成\(\frac{1}{1-q}\)，当\(-1<x<1\)\[\frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^{\infty} q^n\] 展开点 \(x_0 \neq 0\) 的情形： \(\frac{1}{x}=\frac{1}{x_0+(x-x_0)}\)

傅里叶级数

周期为 \(2l\) 的傅里叶级数

设函数 \(f(x)\) 是周期为 \(2l\) 的周期函数，且在区间 \([-l, l]\) 上可积。 函数 \(f(x)\) 的以 \(2l\) 为周期的傅里叶系数公式如下： \[a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{n\pi}{l}x dx \quad (n = 0, 1, 2, \cdots)\] \[b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{n\pi}{l}x dx \quad (n = 1, 2, 3, \cdots)\] 由上述系数构成的级数称为 \(f(x)\) 的以 \(2l\) 为周期的傅里叶级数，记作： \[f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{n\pi}{l}x + b_n \sin \frac{n\pi}{l}x \right)\] 设 \(f(x)\) 是以 \(2l\) 为周期的可积函数，如果在区间 \([-l, l]\) 上 \(f(x)\) 满足以下两个条件：

• 连续或只有有限个第一类间断点；
• 至多只有有限个极值点。 则 \(f(x)\) 的傅里叶级数在 \([-l, l]\) 上处处收敛。记其和函数为 \(S(x)\)，则 \(S(x)\) 的取值如下： \[ S(x) = \begin{cases} f(x), & x \text{ 为连续点}, \\ \frac{f(x-0) + f(x+0)}{2}, & x \text{ 为间断点}, \\ \frac{f(-l+0) + f(l-0)}{2}, & x = \pm l. \end{cases} \]

正弦级数和余弦级数

① 当 \(f(x)\) 为奇函数时，其展开式是正弦级数 展开式公式： \[f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \frac{n\pi x}{l}\] 其中傅里叶系数 \(b_n\) 为： \[b_n = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x) \sin \frac{n\pi x}{l} dx \quad (n = 1, 2, \cdots)\]

② 当 \(f(x)\) 为偶函数时，其展开式是余弦级数 展开式公式： \[f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \frac{n\pi x}{l}\] 其中傅里叶系数 \(a_0\) 和 \(a_n\) 为： \[a_0 = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x) dx\] \[a_n = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x) \cos \frac{n\pi x}{l} dx \quad (n = 1, 2, \cdots)\]

五、空间解析几何、场论与曲线曲面积分

向量与空间解析几何

数量积（内积、点积）及其应用

• \({\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}} = {(a_x, a_y, a_z)} \cdot {(b_x, b_y, b_z)} = {a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}\)
• \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta\) , 则 \(\cos\theta = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \cdot \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}}\) , 其中 \(\theta\) 为 \(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\) 的夹角
• \(\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \Leftrightarrow \theta = \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta = 0 \Leftrightarrow a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0\)
• \(\text{Prj}_{\boldsymbol{b}}\boldsymbol{a} = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|} = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}}\) , 称为 \(\boldsymbol{a}\) 在 \(\boldsymbol{b}\) 上的投影

向量积（外积、叉积）及其应用

• \(c= \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}\) , 其中 \(|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta\) , 用 \(\underline{右手规则确定方向}\) （转向角不超过 \(\pi\)），\(\theta\) 为 \(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\)
• c垂直于a，b组成的平面，且长度等于a，b组成的平行四边形的面积
• \(\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b} \Leftrightarrow \theta = 0 \text{ 或 } \pi(反平行) \Leftrightarrow \frac{a_x}{b_x} = \frac{a_y}{b_y} = \frac{a_z}{b_z}\)

混合积及其应用

• \({[\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c}]} = {(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}} = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}\) ->即为三个向量组成的平行六面体的体积
• \(\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow \text{三向量共面}\)

向量的方向角和方向余弦

• 非零向量 \(\boldsymbol{a}\) 与 \(x\) 轴、\(y\) 轴和 \(z\) 轴正向的夹角 \(\alpha, \beta, \gamma\) 称为 \(\boldsymbol{a}\) 的方向角
• \(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma\) 称为 \(\boldsymbol{a}\) 的方向余弦，且 \(\cos\alpha = \frac{a_x}{|\boldsymbol{a}|}\) , \(\cos\beta = \frac{a_y}{|\boldsymbol{a}|}\) , \(\cos\gamma = \frac{a_z}{|\boldsymbol{a}|}\)
• \(\boldsymbol{a}^{\circ} = \frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)\) 称为向量 \(\boldsymbol{a}\) 的单位向量（表示方向的向量）
• 任意向量 \(\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k} = (r\cos\alpha, r\cos\beta, r\cos\gamma) = r(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)\)，其中 \(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma\) 为 \(\boldsymbol{r}\) 的方向余弦，\(r\) 为 \(\boldsymbol{r}\) 的模，\(\cos\alpha = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\) , \(\cos\beta = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\) , \(\cos\gamma = \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\) , \(r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

法向量 (Normal Vector)

• 定义：垂直于该平面的任意非零向量。
• 表示：通常记为 \(\boldsymbol{n} = (A, B, C)\)。
• 作用：它决定了平面在空间中的倾斜方向。只要法向量确定了，平面的朝向就确定了。

平面方程

• 一般式\[Ax + By + Cz + D = 0\]
• 点法式 (Point-Normal Form)\[A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0\]
• 三点式：已知平面过不共线的三点 \(P_1, P_2, P_3\)。 \[\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x-x_2 & y-y_2 & z-z_2 \\ x-x_3 & y-y_3 & z-z_3 \end{vmatrix} = 0\]
• 截距式：已知平面在三个坐标轴上的截距分别为 \(a, b, c\)。\[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\]
• 平面束方程：过已知相交两平面（交线为 \(L\)）的所有平面集合（不含 \(\pi_2\)）。 \[(A_1x+B_1y+C_1z+D_1) + \lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2) = 0\]

直线方程

已知直线的方向向量为 \(\vec{\tau} = (l, m, n)\)

• 一般式：由两个不平行的平面相交形成的一条直线。 \[\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}\]
• 点向式（对称式）：已知直线上一点 \((x_0, y_0, z_0)\) 及方向向量。 \[\frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n}\]
• 两点式：已知直线上两个不同的点 \(P_1, P_2\)。 \[\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}\]

距离公式

• 点到空间直线的距离 （已知点 \(M_1\)，直线方向向量 \(\boldsymbol{\tau}\)，直线上一点 \(M_0\)） \[d = \frac{|\boldsymbol{\tau} \times \vec{M_0M_1}|}{|\boldsymbol{\tau}|}\]
• 点到二维平面直线的距离 （点 \((x_0, y_0)\) 到直线 \(Ax+By+C=0\)） \[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]
• 点到空间平面的距离 （点 \((x_0, y_0, z_0)\) 到平面 \(Ax+By+Cz+D=0\)） \[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

位置关系

设直线的方向向量为 \(\boldsymbol{\tau} = (l, m, n)\)，平面的法向量为 \(\boldsymbol{n} = (A, B, C)\)。 - 直线与直线 (\(\boldsymbol{\tau}_1\) 与 \(\boldsymbol{\tau}_2\))

• 垂直 (\(L_1 \perp L_2\)) \(\Leftrightarrow \boldsymbol{\tau}_1 \perp \boldsymbol{\tau}_2 \Leftrightarrow l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = 0\)
• 平行 (\(L_1 \parallel L_2\)) \(\Leftrightarrow \boldsymbol{\tau}_1 \parallel \boldsymbol{\tau}_2 \Leftrightarrow \frac{l_1}{l_2} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2}\)

• 平面与直线 (\(\boldsymbol{\tau}\) 与 \(\boldsymbol{n}\))
  • 垂直 (\(L \perp \pi\)) \(\Leftrightarrow \boldsymbol{\tau} \parallel \boldsymbol{n} \Leftrightarrow \frac{l}{A} = \frac{m}{B} = \frac{n}{C}\)
  • 平行 (\(L \parallel \pi\)) \(\Leftrightarrow \boldsymbol{\tau} \perp \boldsymbol{n} \Leftrightarrow Al + Bm + Cn = 0\)
  • 夹角 (\(\theta\))： \(\theta = \arcsin \frac{|\boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{\tau}| |\boldsymbol{n}|}\)

空间曲线的方程

• 一般式（表示为两个曲面的交线）：\[\begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}\]
• 参数方程：\[\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \\ z = \omega(t) \end{cases} \quad (t \in [\alpha, \beta])\]

空间曲线在坐标面上的投影

• 核心求法：往哪个坐标面投影，就联立一般式方程消去另一个未包含的字母，并令该字母为 \(0\)。
• 具体情形：
  • 投影到 \(xOy\) 面：联立方程消去 \(z\) 得到 \(\varphi(x,y)=0\)，投影曲线为 \(\begin{cases} \varphi(x, y) = 0 \\ z = 0 \end{cases}\)
  • 投影到 \(xOz\) 面：联立方程消去 \(y\) 得到 \(\varphi(x,z)=0\)，投影曲线为 \(\begin{cases} \varphi(x, z) = 0 \\ y = 0 \end{cases}\)
  • 投影到 \(yOz\) 面：联立方程消去 \(x\) 得到 \(\varphi(y,z)=0\)，投影曲线为 \(\begin{cases} \varphi(y, z) = 0 \\ x = 0 \end{cases}\)

旋转曲面方程求法

已知曲线 \(\Gamma\): \(\begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}\)，旋转轴 \(L\): \(\frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n}\)。 1. 设点：在母线 \(\Gamma\) 上任取一点 \(M_1(x_1, y_1, z_1)\)，设旋转曲面上对应点为 \(P(x, y, z)\)。 2. 列方程组：点 \(P\) 必须满足以下两个几何条件：

• 垂直条件（向量 \(\vec{M_1P}\) 垂直于旋转轴的方向向量）： \[l(x-x_1) + m(y-y_1) + n(z-z_1) = 0\]
• 等距条件（点 \(P\) 和 \(M_1\) 到旋转轴上定点 \(M_0\) 的距离相等）： \[(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = (x_1-x_0)^2 + (y_1-y_0)^2 + (z_1-z_0)^2\] 1. 消去参数：将上面两个等式与曲线方程 \(F(x_1, y_1, z_1) = 0\) 和 \(G(x_1, y_1, z_1) = 0\) 联立，消去中间变量 \(x_1, y_1, z_1\)，剩下的关于 \(x, y, z\) 的方程即为所求的旋转曲面方程。

空间曲线（求切线与法平面）

1. 参数方程形式

• 方程：\(\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}\)
• 切向量 \(\boldsymbol{\tau}\)：\((x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))\)
• 切线方程：\(\frac{x-x_0}{x'(t_0)} = \frac{y-y_0}{y'(t_0)} = \frac{z-z_0}{z'(t_0)}\)
• 法平面方程：\(x'(t_0)(x-x_0) + y'(t_0)(y-y_0) + z'(t_0)(z-z_0) = 0\) 2. 一般式方程形式 (两曲面交线)
• 方程：\(\begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}\)
• 切向量 \(\boldsymbol{\tau}\)：两曲面法向量的叉乘 \(\nabla F \times \nabla G = (A, B, C)\)
• 切线方程：\(\frac{x-x_0}{A} = \frac{y-y_0}{B} = \frac{z-z_0}{C}\)
• 法平面方程：\(A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0\)

空间曲面（求切平面与法线）

核心在于求法向量 \(\boldsymbol{n}\)。 1. 隐式方程形式

• 方程：\(F(x, y, z) = 0\)
• 法向量 \(\boldsymbol{n}\)：\((F'_x|_{P_0}, F'_y|_{P_0}, F'_z|_{P_0})\)
• 切平面方程：\(F'_x|_{P_0}(x-x_0) + F'_y|_{P_0}(y-y_0) + F'_z|_{P_0}(z-z_0) = 0\)
• 法线方程：\(\frac{x-x_0}{F'_x|_{P_0}} = \frac{y-y_0}{F'_y|_{P_0}} = \frac{z-z_0}{F'_z|_{P_0}}\) 2. 显式函数形式
• 方程：\(z = f(x, y)\) （即 \(f(x, y) - z = 0\)）
• 法向量 \(\boldsymbol{n}\)：\((f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0), -1)\) （注意：此法向量方向向下）
• 切平面方程：\(f'_x(x_0, y_0)(x-x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y-y_0) - (z-z_0) = 0\)
• 法线方程：\(\frac{x-x_0}{f'_x(x_0, y_0)} = \frac{y-y_0}{f'_y(x_0, y_0)} = \frac{z-z_0}{-1}\)

场与方向导数

• 数量场：如果 \(\Omega\) 上的每一点 \(M(x, y, z)\) 都对应着一个数量 \(u\)，则在 \(\Omega\) 上就确定了一个数量函数 \(u=u(x, y, z)\)，它表示一个数量场。数量场的例子很多，比如温度场，温度场只讲大小，不讲方向。
• 向量场：如果 \(\Omega\) 上的每一点 \(M(x, y, z)\) 都对应着一个向量 \(\boldsymbol{F}\)，则在 \(\Omega\) 上就确定了一个向量函数 \(\boldsymbol{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\boldsymbol{i} + Q(x, y, z)\boldsymbol{j} + R(x, y, z)\boldsymbol{k}\)，它表示一个向量场。向量场的例子也很多，比如引力场，引力场既讲大小，也讲方向。

方向导数的定义

定义：设三元函数 \(u=u(x, y, z)\) 在点 \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) 的某空间邻域 \(U \subset R^3\) 内有定义，\(l\) 为从点 \(P_0\) 出发的射线，\(P(x, y, z)\) 为 \(l\) 上且在 \(U\) 内的任一点，则 \[ \begin{cases} x - x_0 = \Delta x = t \cos \alpha, \\ y - y_0 = \Delta y = t \cos \beta, \\ z - z_0 = \Delta z = t \cos \gamma. \end{cases} \] 以 \(t = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}\) 表示 \(P\) 与 \(P_0\) 之间的距离，若极限 \[ \lim_{t \to 0^+} \frac{u(P)-u(P_0)}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{u(x_0+t\cos\alpha, y_0+t\cos\beta, z_0+t\cos\gamma) - u(x_0, y_0, z_0)}{t} \] 存在，则称此极限为函数 \(u=u(x, y, z)\) 在点 \(P_0\) 沿方向 \(l\) 的方向导数，记作 \(\left. \frac{\partial u}{\partial l} \right|_{P_0}\)。

方向导数的计算公式

定理（方向导数的计算公式）：设三元函数 \(u=u(x, y, z)\) 在点 \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) 处可微分，则 \(u=u(x, y, z)\) 在点 \(P_0\) 处沿任一方向 \(l\) 的方向导数都存在，且 \[ \begin{aligned} \left. \frac{\partial u}{\partial l} \right|_{P_0} &= \lim_{t \to 0^+} \frac{u(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z_0+\Delta z) - u(x_0, y_0, z_0)}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}} \\ &= \lim_{t \to 0^+} \frac{u'_x(P_0)\Delta x + u'_y(P_0)\Delta y + u'_z(P_0)\Delta z + o(t)}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}} \\ &= u'_x(P_0)\cos\alpha + u'_y(P_0)\cos\beta + u'_z(P_0)\cos\gamma, \end{aligned} \] 其中 \(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma\) 为方向 \(l\) 的方向余弦。 方向与梯度相等->最大值 相反->最小值

梯度

定义：设三元函数 \(u=u(x, y, z)\) 在点 \(P_0\) 处具有一阶连续偏导数，其梯度定义为： \[ \text{grad } u|_{P_0} = (u'_x(P_0), u'_y(P_0), u'_z(P_0)) \]

• 加减：\(\text{grad}(u \pm v) = \text{grad } u \pm \text{grad } v\)
• 乘法：\(\text{grad}(uv) = v \text{grad } u + u \text{grad } v\)
• 除法：\(\text{grad}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \text{grad } u - u \text{grad } v}{v^2} \quad (v \neq 0)\)

散度

定义：设向量场 \(A(x, y, z) = P i + Q j + R k\)，其散度为： \[ \text{div } A = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \]

旋度 （rot）

定义：设向量场 \(A(x, y, z) = P i + Q j + R k\)，其旋度为： \[ \text{rot } A = \begin{vmatrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} \]

三重积分

轮换性

当积分区域 \(\Omega\) 具有高度对称性（例如球体 \(x^2+y^2+z^2 \leqslant R^2\)）时，如果被积函数中各变量的地位是对称的，可以进行变量替换来化简计算： \[\iiint_{\Omega} f(x)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \iiint_{\Omega} f(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \iiint_{\Omega} f(z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\]

先一后二法（投影法 / 穿线法）

这种方法是先对 \(z\) 积分，再对 \(x\) 和 \(y\) 积分。 - 计算公式：

$$\iiint_{\Omega} f(x, y, z)\mathrm{d}v = \iint_{D_{xy}} \mathrm{d}x\mathrm{d}y \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z)\mathrm{d}z$$

• 定限原则（穿线法）：

  • 后积先定限： 先确定 \(xy\) 平面上的投影区域 \(D_{xy}\)。

  • 限内画条线： 在投影区域内作平行于 \(z\) 轴的直线（从下往上穿过立体）。

  • 先交写下限，后交写上限： 直线最先穿入的“下曲面”为下限 \(z_1(x, y)\)，最后穿出的“上曲面”为上限 \(z_2(x, y)\)。

先二后一法（定限截面法 / 切片法）

这种方法是先在一个给定的 \(z\) 高度上对截面区域 \(D_z\) （即先 \(xy\)）进行二重积分，然后再对 \(z\) 积分。 - 适用场景： 特别适合积分区域 \(\Omega\) 是旋转体的情况（如由旋转曲面 \(z = z(x, y)\) 围成）。

• 计算公式：

  \[\iiint_{\Omega} f(x, y, z)\mathrm{d}v = \int_{a}^{b} \mathrm{d}z \iint_{D_z} f(x, y, z)\mathrm{d}\sigma\]

• 定限原则（切片法）：

  • 后积先定限： 先确定 \(z\) 的取值范围，即立体在 \(z\) 轴上的最低点 \(a\) 和最高点 \(b\)。

  • 限内截个面（一刀切入）： 在高度 \(z\) 处用垂直于 \(z\) 轴的平面“切”一刀，得到的二维截面就是积分区域 \(D_z\)。先计算这个截面上的二重积分。

球面坐标系

• 被积函数中含： \[ \begin{cases} f(x^2 + y^2 + z^2), \\ f(x^2 + y^2). \end{cases} \]
• 2. 积分区域为： \[ \begin{cases} \text{球或球的部分}, \\ \text{锥或锥的部分}. \end{cases} \] \[ \begin{cases} x = r \sin\varphi \cos\theta, \\ y = r \sin\varphi \sin\theta, \\ z = r \cos\varphi, \end{cases} \] 则 \(\text{d}v = r^2 \sin\varphi \text{d}r \text{d}\varphi \text{d}\theta\)。 注意掌握雅可比行列式

三重积分的应用：体积、重心与形心

1. 空间物体的体积 若 \(\Omega\) 是物体所占的空间区域，则其体积 \(V\) 为： \[V = \iiint_{\Omega} \mathrm{d}v\] 2. 空间物体的重心计算 对于空间物体，若体密度为 \(\rho(x, y, z)\)，\(\Omega\) 为其所占空间区域，重心 \((\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})\) 的公式为： \[\bar{x} = \frac{\iiint_{\Omega} x\rho(x, y, z)\mathrm{d}v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z)\mathrm{d}v}\] \[\bar{y} = \frac{\iiint_{\Omega} y\rho(x, y, z)\mathrm{d}v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z)\mathrm{d}v}\] \[\bar{z} = \frac{\iiint_{\Omega} z\rho(x, y, z)\mathrm{d}v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z)\mathrm{d}v}\]

• 在考研范畴内，重心就是质心。

3. 形心及形心公式的逆用 当密度 \(\rho(x, y)\) 或 \(\rho(x, y, z)\) 为常数时，公式中分子分母的常数可约掉，此时重心就成了形心。 形心公式逆用： 若形心坐标与区域体积 \(V\) 均易于求出，可通过逆用公式快速计算涉及坐标变量的三重积分：

• 由 \(\bar{x} = \frac{\iiint_{\Omega} x \mathrm{d}v}{\iiint_{\Omega} \mathrm{d}v}\)，可得 \(\iiint_{\Omega} x \mathrm{d}v = \bar{x} \cdot V\)
• 同理可得：\(\iiint_{\Omega} y \mathrm{d}v = \bar{y} \cdot V\)
• 同理可得：\(\iiint_{\Omega} z \mathrm{d}v = \bar{z} \cdot V\)
• (注：分母 \(\iiint_{\Omega} \mathrm{d}v\) 即为 \(\Omega\) 的体积 \(V\))

三重积分的应用：转动惯量与引力

设空间物体所占区域为 \(\Omega\)，体密度为 \(\rho(x, y, z)\)。 1. 转动惯量 物体对各坐标轴及原点 \(O\) 的转动惯量：

• 对 \(x\) 轴： \(I_x = \iiint_{\Omega} (y^2 + z^2)\rho(x, y, z)\mathrm{d}v\)
• 对 \(y\) 轴： \(I_y = \iiint_{\Omega} (x^2 + z^2)\rho(x, y, z)\mathrm{d}v\)
• 对 \(z\) 轴： \(I_z = \iiint_{\Omega} (x^2 + y^2)\rho(x, y, z)\mathrm{d}v\)
• 对原点 \(O\)： \(I_O = \iiint_{\Omega} (x^2 + y^2 + z^2)\rho(x, y, z)\mathrm{d}v\) (注：被积函数括号内的部分，即为微元到对应轴或原点的距离的平方) 2. 引力 物体对外一点 \(M_0(x_0, y_0, z_0)\) 处、质量为 \(m\) 的质点产生的引力分量 \((F_x, F_y, F_z)\)，其公式结构类似，以 \(F_x\) 为例：
• \(x\) 轴分量： \(F_x = Gm \iiint_{\Omega} \frac{\rho(x, y, z)(x - x_0)}{[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2]^{\frac{3}{2}}} \mathrm{d}v\)
• \(y\) 轴分量： \(F_y = Gm \iiint_{\Omega} \frac{\rho(x, y, z)(y - y_0)}{[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2]^{\frac{3}{2}}} \mathrm{d}v\)
• \(z\) 轴分量： \(F_z = Gm \iiint_{\Omega} \frac{\rho(x, y, z)(z - z_0)}{[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2]^{\frac{3}{2}}} \mathrm{d}v\) (注：\(G\) 为引力常数；分母项实际上是微元与 \(M_0\) 点距离的三次方)

第一类曲线积分

\[\int_L f(x, y)\text{d}s = \int_a^b f[x, y(x)]\sqrt{1 + [y'(x)]^2} \text{d}x\] 应用部分均为将上一小节的\(dv\)改为\(ds\)计算即可

第一类曲面积分

• 记号: \(\iint_{\Sigma} f(x, y, z) \, dS\)
• 物理意义:
  • 当 \(f(x, y, z)\) 为曲面密度时，积分为曲面 \(\Sigma\) 的总质量。
  • 当 \(f(x, y, z) \equiv 1\) 时，积分为曲面 \(\Sigma\) 的表面积。 \[dS = \sqrt{1 + (z_x')^2 + (z_y')^2} \, dx \, dy\] \[\iint_{\Sigma} f(x, y, z) \, dS = \iint_{D_{xy}} f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1 + (z_x')^2 + (z_y')^2} \, dx \, dy\]

第二类曲线积分与格林公式

变力沿曲线做功（对坐标的曲线积分）

图中展示了力场做功与对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）的关系。

• 做功公式： \[W = \int_L \mathrm{d}W = \int_L \bm{F}(x, y) \cdot \mathrm{d}\bm{s} = \int_L (P(x, y), Q(x, y)) \cdot (\mathrm{d}x, \mathrm{d}y)\]
• 微元分析： \[\int_L P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = \int_L P\mathrm{d}x + \int_L Q\mathrm{d}y\]
• \(P(x, y)\mathrm{d}x\)：表示水平方向的做功微元。
• \(Q(x, y)\mathrm{d}y\)：表示铅直方向（垂直方向）的做功微元。

格林公式

• 定理条件：
  • 平面有界闭区域 \(D\) 由分段光滑曲线 \(L\) 围成，
  • \(P(x, y), Q(x, y)\) 在 \(D\) 上具有一阶连续偏导数
  • \(L\) 取正向。（约等于将区域吹成一个圆，圆上的方向逆时针）
• 公式表达： \(\oint_L P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d}\sigma\)
• 当遇到\(L\)不为正向，将式子取负后运算
• 当遇到非封闭曲线且 \(\frac{\partial Q}{\partial x} \neq \frac{\partial P}{\partial y}\) 时，无法直接使用格林公式，此时可以采用“补线使其封闭
• 原积分路径 \(L\) 为封闭曲线，曲线 \(L\) 内部包含奇点（即函数无定义或偏导数不存在的点）。 在区域 \(D\) 内（除奇点外），函数 \(P\) 和 \(Q\) 具有一阶连续偏导数，且满足恒等式 \(\frac{\partial Q}{\partial x} \equiv \frac{\partial P}{\partial y}\) \(\oint_L P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y = \oint_{L_1} P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y\) \(L\)与\(L_1\)方向相同

若\(D\) 是单连通区域，\(P\)、\(Q\) 的一阶偏导连续。

• 交叉偏导数相等： \(\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}\)
• 沿闭合曲线的积分为零： 沿区域内任意分段光滑闭曲线 \(L\) 的积分为零： \(\oint_L P dx + Q dy = 0\)
• 曲线积分与路径无关： 在区域内任意两点间的曲线积分只与起点和终点有关，与路径无关 \(\int_{L_1} P dx + Q dy = \int_{L_2} P dx + Q dy\)
• 存在原函数（为某函数的全微分）： 存在一个二元函数 \(u(x, y)\)，使得被积表达式是它的全微分： \(du = P dx + Q dy\)
• 构成全微分方程： 当等式等于 0 时，构成全微分方程（恰当导数方程）： \(du = 0 = P dx + Q dy \text{ 是全微分方程}\)
• 构成梯度场： 向量场 \(\{P, Q\}\) 是标量函数 \(u\) 的梯度（即 \(\nabla u = (P, Q)\)）。

第二型曲面积分

\[ \iint_{\Sigma} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy \]

1. 方向判断

第二型曲面积分一定要注意曲面方向。外侧方向(即法向量指向外面) 法向量和”水流方向”夹角小于90就是流出(+),否则就是流入(-) 也可以视为法向量与水流方向一致取+，否则取-

2. 投影法计算 1. 转换投影法中有向曲面正向单位法向量的求法

• 当指定曲面的上侧为正时，根号前取 “+”。
• 当指定曲面的下侧为正时，根号前取 “-”。

2. 曲面面积微元与投影微元的关系 第一类曲面积分的面积微元 \(dS\) 与其在 \(xy\) 平面上的投影微元 \(dxdy\) 的关系：

3. 转换投影定理（核心结论） 结合向量场 \(\mathbf{F} = (P, Q, R)\) 及有向面积微元 \(d\mathbf{S} = \mathbf{n} dS = (dydz, dzdx, dxdy)\)，第二类曲面积分可以通过点乘法向量并约去根号项（如第一张图推导所示），直接转化为投影区域 \(D\) 上的二重积分：

   设 \(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)\) 在 \(\Sigma\) 上连续，则有： \(\iint_{\Sigma} P(x,y,z)dydz + Q(x,y,z)dzdx + R(x,y,z)dxdy = \pm \iint_{D} \left( -P\frac{\partial z}{\partial x} - Q\frac{\partial z}{\partial y} + R \right) dxdy\)

4. 高斯公式

若 \(\Sigma\) 是封闭曲面，且取外侧方向，则可以使用高斯公式：

\[ \iint_{\Sigma} P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV \]

其中 \(\Omega\) 是封闭曲面 \(\Sigma\) 围成的空间区域。

向量形式为： \[ \iint_{\Sigma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iiint_{\Omega}\operatorname{div}\vec{F}\,dV \]

其中： \[ \operatorname{div}\vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \]

如果曲面不是封闭曲面，可以考虑补面。 如果有奇点，参照二型曲线

空间第二型曲线积分（即推广至三维）

1. 参数方程法（直接代入计算）

若空间曲线 \(\Gamma\) 的参数方程为： \[ \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases} \quad (t: \alpha \to \beta) \] 则可将空间第二型曲线积分转化为定积分： \[ \int_{\Gamma} Pdx + Qdy + Rdz = \int_{\alpha}^{\beta} \{ P(t)x'(t) + Q(t)y'(t) + R(t)z'(t) \} dt \] (注：被积函数中的 \(P, Q, R\) 均需将 \(x, y, z\) 替换为对应的关于 \(t\) 的函数)

2. 斯托克斯公式 (Stokes’ Formula)

设 \(\Sigma\) 为分片光滑有向曲面，\(\Gamma\) 为其边界曲线，且曲线方向与曲面 \(\Sigma\) 的法向量符合右手系规则。若函数 \(P, Q, R\) 具有连续的一阶偏导数，则可将曲线积分转化为曲面积分：

形式一（转化为第二型曲面积分）： \[ \oint_{\Gamma} Pdx + Qdy + Rdz = \iint_{\Sigma} \begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} \]

形式二（转化为第一型曲面积分）： \[ \oint_{\Gamma} Pdx + Qdy + Rdz = \iint_{\Sigma} \begin{vmatrix} \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} dS \] (其中 \(\mathbf{n}^\circ = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)\) 为 \(\Sigma\) 的单位外法向量)